Tag Archives: matematikk

En usannsynlig oppgave

Her om dagen kom jeg over følgende oppgave i en matematikkbok:

I et lotteri er sannsynligheten for å vinne 1/10. Vi kjøper to lodd.

Finn sannsynligheten for å vinne på nøyaktig ett av loddene.

Hvor mange lodd er det med i lotteriet? Er det 20 lodd og 2 vinnerlodd? 10 lodd og 1 vinnerlodd? 100 000 lodd og 10 000 vinnerlodd? Er det sånn at for hver gang noen kjøper ett lodd, så utstedes det ti lodd hvorav ett er vinnerlodd og de ni som kjøperen ikke kjøper blir kastet? Og ikke minst, er dette lotteriet egentlig godkjent av lotteritilsynet?

Jeg tror forfatterne av boken egentlig mener å gi en oppgave med tilbakelegging, men slik fungerer ikke et lotteri. Videre her nå skal jeg forklare forskjellen på et lotteri og et terningkast for å illustrere hvorfor oppgaven er ubrukelig hvis man skulle komme i skade for å tenke for mye.

Terninger fins i andre varianter enn de standard 6-kantede. Det fins for eksempel terninger med 10 sider. Sånne terninger kan være svært så kule. De kan for eksempel være nummerert med sifrene 0 til 9 i stedet for 1 til 10. Hvorfor det er kult? Jo, for da har vi liksom hele ti-tallsystemet på terninger. Juhu! (NB: Ta dette som et tips til ting skolen din bør kjøpe av konkretiseringsmidler i matematikk).

La oss så si at vi kaster en sånn terning, og vil gjerne ha tallet 3. Hva er sannsynligheten for å få 3? Joda, nokså greit. Du vet det. det er 1/10. Men la oss bare liste opp universalregelen for all sannsynlighet med en eneste gang:

 

 

Hvor mange sider er det som har tallet 3 på seg på denne terningen? 1. Hvor mange mulige sider kan den lande på? 10.

 

 

Vi avanserer glatt til TO terninger. Og du skal få 3 på den første og 3 på den andre. Hvor mange gunstige har vi? Vi MÅ ha 3 på begge, og eneste gunstige er 33. Hvor mange mulige har vi? Den tungvinte måten er å telle. De to terningene kan bli 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, åkei nå gidder jeg ikke telle lengre, og helt opp til 99. Det blir til sammen 100 muligheter. Utregningen er 10*10 muligheter. Og sannsynligheten kan vi skrive som (1/10)*(1/10). Bedre skrevet som to brøker:

 

 

Sannsynligheten for å få 3 og 3 på to terninger med ti sider er 1/100. Og sannsynligheten for å få 3 på første kast og 3 på andre kast på en terning blir det samme.

Før vi går videre vil jeg vise frem et smart verktøy. Det kalles valgtre, eller sannsynlighetstre. Om det er bare to ting du skal huske om sannsynlighet, så er det gunstige/mulige og valgtre.

Her er et valgtre for å finne sannsynligheten for å få 3 på to kast på rad, med en terning med 10 sider:

 

 

 

Det er ikke alltid nødvendig å tegne hele valgtreet slik jeg har gjort her, men siden jeg først driver og forklarer, så gjorde jeg det. Legg merke til et par ting ved dette valgtreet. Se først på det første kastet. Sannsynligheten for å få en 3er er 1/10, og sannsynligheten for å ikke få en 3er er 9/10. Til sammen blir det 10/10, altså en hel.

Se videre at ut etter en forgreining, så står det et lite multiplikasjonstegn. Det betyr at du må gange sammen sannsynlighetene. Så sannsynligheten for å komme ut i greinen øverst til høyre er lik sannsynligheten for å få en 3er i første kast (1/10) ganger med sannsynligheten for å få en 3er i andre kast (1/10).

Sannsynligheten for å få en 3er i første kast og en 3er i andre kast blir derfor lik (1/10)*(1/10), som er 1/100 (første grein). Og sannsynligheten for å få en 3er i første kast og ikke en 3er i andre kast blir derfor lik (1/10)*(9/10), som er 9/100 (andre grein). Skjønner?

De plussene som står nedover der, de betyr at hvis du skal legge sammen flere greiner, så må du plusse dem sammen. For eksempel om du får oppgaven: Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig en 3er? Da plusser du sammen grein to og tre. 9/100+9/100=18/100.

 

 

Samme fremgangsmåte brukes hvis du før spørsmålet “Hva er sannsynligheten for å få minst en 3er?”. Da plusser du sammen de tre første greinene.

Legg til slutt merke til at summen av alle sannsynlighetene til slutt på de fire greinene blir en hel.

 

 

 

Men hvordan skiller dette seg fra et lotteri? Enkelt forklart, så er det jo sånn at etter at du har kjøpt et lodd, så er det færre lodd igjen i lotteriet. Det blir færre mulige for hvert lodd som er brukt opp. Og hvis loddet du kjøpte var et vinnerlodd, så blir det færre vinnerlodd igjen, altså færre gunstige. Det holder derfor ikke at vi vet hva som er sannsynligheten for å vinne på ett lodd, vi må også vite hvor mange lodd det er i lotteriet. Jeg gjetter på at det er 100 lodd, og at 10 av de er vinnerlodd. Merk at vi hadde fått helt andre tall om antall lodd i lotteriet hadde vært noe annet.

Vi har sannsynligheten 10/100 for å vinne på ett lodd, eller 1/10 om vi forkorter brøken. Jeg har latt være å forkorte noen brøker overhodet i tegningen, for å holde fokus på utregningen av sannsynlighet her. Forkorting av brøker kan du gjøre helt til sist når du har fått svaret. Tilbake til tegnebrettet:

 

Hvis vi da leser treet på samme måte som for terningen, så ser vi at sannsynligheten for å vinne på to lodd er:

 

 

Skal vi finne sannsynligheten for å vinne på nøyaktig ett lodd hvis man kjøper to, legger vi sammen de to greinene som har nøyaktig ett vinnerlodd i seg:

 

 

Spørsmål?

Om å kjenne lusern på multiplikasjon

De dropper ut av videregående, eller subber seg så vidt gjennom med dårlige karakterer. De funksjonelle analfabetene, og mattetaperne. De funksjonelle analfabetene kan lese, men ikke forstå innhold som blir for komplisert. Mattetaperne kan utføre enkle matteoppgaver, men ikke forstå hva de driver med.

På ett eller annet tidspunkt ramler de av lasset, og mister gjerne motivasjon og innsatsvilje. Det er kanskje ikke så rart. Men hvor starter det hele? Når begynner veien ned i søla? Jeg har en fornemmelse av at det hele begynner på barneskolen et sted. Helt konkret, for matematikkens del, tror jeg det begynner i det øyeblikket man må lære seg huskeregler i stedet for å forstå.

Ta gangesangene for eksempel. På ett vis kan man argumentere for at det er bra at et høyt antall av elevene kan hoste opp svaret på et ensifret multiplikasjonsstykke. På den andre siden, er egentlig gangesangene noe annet enn en metode for å unngå å lære seg gangetabellen? Kan man gangetabellen noe bedre med en sang enn om man bruker en kalkulator?

Denne typen læring vil jeg kalle for “for tidlig forenkling”.

Nå skal sant sies at gangesangene er ikke det verste. Det kan fungere som en nødløsning for de elevene som ikke er i stand til å huske multiplikasjonsstykkene på annet vis. Jeg bare mener at man bør forsøke andre vis først.

Hakket verre blir det når vi kommer til flersifret multiplikasjon eller mer kompliserte regneoperasjoner. Jeg bladde i morges i en mattebok for fjerde trinn, og kom til dette:

Etter min mening et klassisk eksempel på for tidlig forenkling. Eleven kan helt fint lære seg regelen som her, men med en gang man treffer på “uheldige” regnestykker blir det mente flere ganger (forvirrende). Og hva skjer idet det er flere sifre på begge sider av multiplikasjonstegnet? Jo, da må eleven enten lære seg nye regler, eller begynne på nytt med å forsøke å forstå.

Veien til mattehelvete er brolagt med regler.

Hørte jeg “men så gjør det bedre selv da”? Greit, her er bedre:

Jada, det ble flere tall å skrive, men det er enklere å forstå hva som skjer, samt at det er overførbart til videre multiplikasjon. Legg spesielt merke til at jeg ikke sløyfer nullene i delregnestykket 40*6=240. Ved å ikke sløyfe nullene tydeliggjøres at vi her jobber med titallsystemet. Dette vil bli enda viktigere når man får flere siffer i hver av faktorene, og derfor bør man skrive delregnestykkene helt ut, hele tiden, helt til man kan det så godt at det ikke trengs lenger.

Mer om multiplikasjon her og mer om forståelse i stedet for regler her.

Mattemøkk!

Jeg forstår sånn vanlig matte, men ikke sånn med bokstaver og greier.

Sliter du med algebra? Eller kjenner du noen som sliter med algebra? En sønn, datter, eller elev? Jepp, mange gjør det. La meg forsøke å oppklare noe grunnleggende algebra, så får vi se om jeg kan gå litt videre en gang senere. I stedet for å pugge masse regler, så kan det være lurt å forsøke å forstå hva man driver med. Hvis man er så heldig at man forstår hva som skjer, trenger man faktisk ikke reglene engang. De gir seg på en måte selv. OK, here we go.

La oss starte med likhetstegnet. Eller erlik, som vi ofte kaller det. Det ser sånn ut: =

Likhetstegnet betyr at det er like mye på begge sider. Om det er en vektskål så veier begge sider like mye. For eksempel 5 = 5. Den var lett, hæ? Eller 7 spadetak med møkk = 7 spadetak med møkk. Videre kan de fleste etterhvert lære seg at for eksempel 7 spadetak med møkk -1 spadetak med møkk = 6 spadetak med møkk. Fortsatt lett eller? Og måker du bort et spadetak møkk fra ene siden, så må du måke vekk et spadetak fra andre siden også. Som i 7-1-1=6-1. Eller legger du til en spade møkk på ene siden, må du legge til en spade møkk på andre siden. Som i 7-1+1=6+1. Det må alltid være like mye møkk på hver side av vektskålen.

OK, hva om vi sier at:

7+1-1=7

Hang du med? Vi kan godt si at pluss og minus er store vegger, og alt som skjer mellom skjer for seg selv. Så om du tar 1-1 på ene siden, og ender opp med 7-0=7, så er det helt greit. Det kan hende du allerede lurer på hva dette har med algebra å gjøre, men vi kommer til det.

Algebra er når vi blander inn bokstaver i matematikken. Ukjente. Gjerne heter disse ukjente X eller Y for eksempel. I denne posten holder vi oss til X.

La oss se på regnestykket:

X+1=6

Mange her vil nok ha pugget at de skal flytte over 1-tallet og skifte fortegn, men det blåser jeg en lang i. Jeg vil heller at man skal forstå hva man må gjøre for å komme frem til hva den ukjente er.

I dette tilfellet så snakker vi om møkk. Spadetak med møkk. På den ene siden, så har du et ukjent antall spadetak med møkk, og ett spadetak til. På den andre siden av likevektskålen har vi seks spadetak med møkk.

For å finne ut hvor mange spadetak, “et ukjent antall spadetak med møkk”, X, betyr så må vi måke møkk. Vi har lov til å ta bort møkk, legge til møkk, doble møkk, halvere møkk, eller gange mengden møkk akkurat så mye vi vil. Bare vi gjør det likt på begge sider.

Siden dette er en likevektsskål må vi jo ta bort eller legge til LIKE MYE møkk på begge sider, ellers blir hele greia feil.

X+1(og så tar vi bort en spade møkk)=6 (og så tar vi bort en spade møkk)

X+1-1=6-1

Som vi fant ut i sted, så er +1-1 ingenting, så på den ene siden sitter vi igjen med X. På den andre siden sitter vi igjen med 6-1, som jeg er sikker på at du kan. Det er 5.

X=5

Og du er ferdig! Det var det hele. Om du trekker fra det ene spadetaket som først ble lagt til på ene siden, så kan du trekke fra et like stort spadetak fra andre siden. La oss komme tilbake til halvering og dobling av møkk en gang senere.

Hvis et par forsøker å få ei jente og en gutt, hva er sannsynligheten for at en av partene simulerer?

Jeg er så heldig at jeg skal få ha et par mattetimer på VG1. Jeg gleder meg, fordi jeg har alltid elsket matte, og det er ett av fagene jeg behersker. Til vanlig så er jeg bare en dødelig systemansvarlig og bittelitt lærer i et fag som heter Elektronisk infrastruktur. Min elsk på matematikk er en av årsakene til at jeg overhodet har havnet innen informasjonsteknologifaget. På den tiden, (jada, jeg drar på åra) jeg begynte å studere informasjonsteknologi var matematikk en hjørnestein. Per i dag kan man drive med data uten å kunne matematikk inn og ut, men som sagt, på den tiden var det nødvendig. Vi hadde gøyale fag som Algoritmer, Diskret matematikk og Matematisk logikk. Yey. Sånn. Ferdig stempla som nerd.

Jeg skal altså ha et par timer i matematikk på vgo. Det er ikke store saken jeg har fått lov til å legge labbene mine på, men jeg skal forsøke å forklare, og gi relevante oppgaver, innen sannsynlighetsregning og simulering. Supert! Jeg digger sannsynlighetsregning og simulering.

Jeg fikk låne læreboka som brukes, og vips, så følge jeg behovet for å avreagere i form av statusoppdateringer på facebook og en bloggpost. TO sekunder etter at jeg hadde hisset meg opp over boken “Sinus 1P” ble Håvard Tjoras innlegg på Dagbladet.no postet. Heh – artig nok, for jeg tenkte på Tjora før i dag. Ikke på noen kinky måte altså, neinei, bare fordi at jeg skal høre på foredraget hans ved Våler ungdomsskole i morgen.

Tjoras innlegg handlet om dårlige lærebøker, og det var NETTOPP det jeg tenkte da jeg leste kapittel 8 i Sinus 1P. Hva pokker? FINS det ikke gode lærebøker?  Tanken er ikke ny hos meg, dessverre. Jeg leser lærebøkene til barna mine når de blir utdelt, og hver gang blir jeg litt trist. Heldigvis fins det lyspunkt! Læreplanene binder ikke læreren til å følge en lærebok slavisk, og det håper jeg virkelig ingen lærere gjør. I så fall bør den læreren revurdere. Og igjen.

Sinus 1P får gjennomgå denne gangen. Det kunne like gjerne vært Tuba luba eller Tusen millioner. Og jeg tar bare ett kapittel nå, for det var det jeg gadd lese.

Vi har nå sett at vi kan finne sannsynligheter ved hjelp av forsøk. Men noen forsøk er ikke enkle å utføre. Et ektepar ønsker seg tre barn. Hva er da sannsynligheten for at de får to gutter og ei jente?

Vel, DETTE er vel ikke så vanskelig å gjøre forsøk ut av. Det er bare å gå hjem og få barn. Eller, hm, det tar litt tid. Hva med å slå opp i statistikk? Det må da være hopetall av mennesker som har fått tre barn? Jepp. Statistisk sentralbyrå har til og med postet en egen artikkel om dette.

Sinus har hengt seg opp i barn og gutt/jente. Likevel ønsker de aller mest å forenkle dette til en 50/50-sak. Jaha?

Gruppeoppgave: Et ektepar ønsker seg to barn. For å finne sannsynligheten for at disse to barna blir ei jente og en gutt, bruker vi simulering. Vi deler klassen inn i par. Hvert par kaster to mynter 100 ganger og teller hvor mange ganger de får en mynt og en krone.

1) Hæ? Sannsynligheten for å få en gutt ved første fødsel er ikke halvparten. Det er 51,3 %. Og ved andre fødsel er det 51,2 %. Når ble matematikk et fag hvor vi tar ting sånn ut helt fra det blå bare for moro skyld? Dette er som å si at når man kjører bil blir man enten drept i en bestialsk trafikkulykke eller ei, så derfor kan vi si at det er fifty/fifty.

2) For å bruke ungdommens språk. Serr? Skal elevene bruke et kvarter på å kaste en mynt opp og ned for å finne ut at det blir omtrent 50/50 pr kast? Hva er den pedagogiske forankringen her? Er poenget å lære at simulering er noe som foregår manuelt og tar dritlang tid selv når enhver elev vet det omtrentlige utfallet? Forventer vi at elevene er hjernedøde? Dette er ekvivalenten til om barneskoleelevene skulle bruke tid på å rulle gangetabellen i sneen. Artig med annet enn skolearbeid, men ikke særlig matnyttig.

Jeg skulle ønske at dette var de eneste eksemplene jeg kunne dra frem, men nei. Flere eksempler kommer på oppfordring.

Jeg gir opp. Er det lov å brenne bøker nå til dags? Satser på egne eksempler og egne oppgaver, og håper at lærebøker etterhvert blir bedre. Forresten.. Hvordan fungerer dette? Er det sånn at hver enkelt lærer bestemmer lærebok? Hver enkelt skole? Kommune? Fylke? For hvis ikke, så hadde vi vel kanskje vært bedre tjent med å leie inn noen lærebokforfattere på timesbasis som kunne lage en lærebok for alle. Ikke-åndsverksbeskyttet. Med muligheter for å forbedre. Sånn som NDLA er i ferd med å bli.

Regne ut statistisk signifikans i regneark

Hvordan regne ut hvorvidt forskjellen mellom to uavhengige datasett med ulik varians er statistisk signifikant eller ei? Nada problem. hehe. det kan jeg si NÅ etter å ha fått 17 nye gråe hår. Jeg hadde det problemet at statistikken jeg skulle sjekke ikke inneholdt hele datasett, men jeg hadde median, standardavvik og antall observasjoner.

Finne t-verdi:

Eller i regneark:

F2=((C2-C3))/ROT(((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3))

Hvor C2 er median av X1, C3 er median av X2, D2 er standardavvik1, D3 er standardavvik2, E2 er antall observasjoner (N) 1 og E3 er antall observasjoner 2.

Finne v (frihetsgrader):

Eller i regneark:

G2=((((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3))*(((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3)))/(((D2*D2*D2*D2)/((E2*E2)*(E2-1)))+((D3*D3*D3*D3)/((E3*E3)*(E3-1))))

Heh. Mulig jeg har tatt litt av på parenteser her og der, men jeg tør ikke ta bort noen nå 😮

p i regneark da:

H2=TFORDELING(F2:F2;G2:G2;2)

Eller snarveien, kjøre t og v rett inn i TFORDELING uten å regne de ut først:

=TFORDELING(((C2-C3))/ROT(((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3));((((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3))*(((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3)))/(((D2*D2*D2*D2)/((E2*E2)*(E2-1)))+((D3*D3*D3*D3)/((E3*E3)*(E3-1))));2)

Hvis svaret du får da er mindre enn 0,05 er forskjellen i datasettene å regne for statistisk signifikant. En enda snarere snarvei:

Statistisk signifikant?
=HVIS(TFORDELING(((C2-C3))/ROT(((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3));((((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3))*(((D2*D2)/E2)+((D3*D3)/E3)))/(((D2*D2*D2*D2)/((E2*E2)*(E2-1)))+((D3*D3*D3*D3)/((E3*E3)*(E3-1))));2)<0,05;”Ja”;”Nei”)

 

Faktorisering av bolledeig

At bollebaking har mye matematikk i seg er godt kjent. Mest kjent er øving i måling så klart, og det er viktig. Men har du tenkt på at bollebaking også omfatter faktorisering?

Kan vi bake boller?

– Nei. Jeg har ikke tid, men du kan bake boller selv. Oppskriften skal du få av meg.

– Først tar du 200 gram margarin og setter på smelting i en kasserolle. Du må bruke kjøkkenvekten.

– Så måler du opp 2 desiliter sukker og har i en stor bolle. En bolledeigbolle.

– Det står ikke desiliter eller dl på litersmålet vårt, men ml. Det betyr milliliter. En desiliter er hundre milliliter, så du må måle til 200 ml.

– Så trenger du 16 desiliter mel.

Hvor mye måler jeg til da?

– Det må du finne ut. Kanskje du må måle to ganger.

– Bland oppi en pose gjær og en teskje kardemomme og en teskje salt.

– Når smøret har smeltet tar du 4 desiliter melk oppi smøret, og varmer til det er lunkent. Da kan du tømme det oppi den tørre blandingen og sette på kjøkkenmaskinen.

– Etter en halvtime er deigen klar til å bakes ut. Det skal bli 24 boller, så du må faktorisere bolledeigen.

Hæ?

– Du må faktorisere bolledeigen. Det er en måte å få delene passe på. Kan du si det ordet? “Faktorisering”

Faktorisering.

– Fint. Da deler du deigen i to først hvis det går an. Kan 24 deles på to?

Ja.

– Riktig, da deler du deigen i to. Hvor mye blir 24 delt på to?

12

– Flott. Kan 12 deles på to?

Ja, og det blir 6.

– Fint, da deler du alle deigbitene i to igjen. Enn 6 da, kan det deles på to?

Ja, det blir 3.

– Stemmer. Del bitene i to igjen. Kan 3 deles på to?

Nei.

– Nei, kan det deles på 3 da?

Ja.

– Fint, da deler du alle bitene i 3. Hva er 3 delt på 3?

1.

– Supert, når vi kommer til 1 er vi ferdig. Nå har du faktorisert bolledeigen har har fått 24 like store biter. Det var 2, 2, 2 og 3.

De må heve tre kvarter til etter utbaking, og steikes på 210 grader i litt under ti minutter. Følg med 😉

Pappaleaks – multiplikasjonsnotater på avveie

Krise! Pappas superhemmelige matematikknotater om multiplikasjon (pdf) har kommet på avveie og overivrige småunger kan plutselig gange sammen all verdens tall.

Jeg tror barn helt fint kan øve på 6-gangen og 4-gangen samtidig som de øver på 64*46. Jeg tror mange barn synes det er mer spennende på den måten også. Eller å gange sammen fire med fem millioner.

Under multiplikasjon av store tall bruker jeg full notasjon, da det er mye enklere å lære seg enn at det skal være usynlige nuller der.

Det ble i hvert fall stor iver her i gården da det skulle avsløres hva som sto i de superhemmelige notatene. Så får det heller så være at matteboka ikke kommer dit på lenge.

Det termometeret kan du stikke opp i

Dagen startet bra med at det ble fastslått at det var dobbelt så varmt i dag som i går. 100 % temperaturøkning ble det sagt. Kjapt ble det regnet ut at hvis trenden fortsatte, så ville vi ha 3 758 096 384 grader om en måned.

Så begynner problemene. Ikke klimaproblemene vi får hvis vi oppnår 3 758 096 384 grader om en måned, for det stresser meg egentlig ikke så mye. Problemene med Celsius er det som plager meg. ER virkelig 14 grader 100 % varmere enn 7 grader? Og hvis det er det, er da -7 grader 100 % varmere enn -14 grader? Hvor mange prosent varmere er egentlig 14 grader enn -7 grader da? Dette går dårlig. Det er greit å måle prosentvis økning i nedbørsmengde for eksempel, for den er rimelig håndfast. Relativ endring i temperatur etter Celsius-skalaen derimot, det blir bare rot.

Tidligere har jeg slått fast at 3 varmegrader, det er ikke noe varmt i det hele tatt. Det er dritkaldt. Og da er det jo ganske fjernt å kalle det for varmegrader. Og nå kommer det frem at prosentvis økning eller senkning i temperaturen blir bare rot.

Vet du hva Celsius? Det termometeret kan du stikke opp i ****! (Men ikke trekk noen forhastede konklusjoner ut fra det slik som Fahrenheit gjorde.)

Eneste som hadde noenlunde vett var Kelvin. Og når det gjelder kuldegrader, så burde det være alt under 285 K, for da er det for kaldt uten tungvindt mye klær.