En usannsynlig oppgave

Her om dagen kom jeg over følgende oppgave i en matematikkbok:

I et lotteri er sannsynligheten for å vinne 1/10. Vi kjøper to lodd.

Finn sannsynligheten for å vinne på nøyaktig ett av loddene.

Hvor mange lodd er det med i lotteriet? Er det 20 lodd og 2 vinnerlodd? 10 lodd og 1 vinnerlodd? 100 000 lodd og 10 000 vinnerlodd? Er det sånn at for hver gang noen kjøper ett lodd, så utstedes det ti lodd hvorav ett er vinnerlodd og de ni som kjøperen ikke kjøper blir kastet? Og ikke minst, er dette lotteriet egentlig godkjent av lotteritilsynet?

Jeg tror forfatterne av boken egentlig mener å gi en oppgave med tilbakelegging, men slik fungerer ikke et lotteri. Videre her nå skal jeg forklare forskjellen på et lotteri og et terningkast for å illustrere hvorfor oppgaven er ubrukelig hvis man skulle komme i skade for å tenke for mye.

Terninger fins i andre varianter enn de standard 6-kantede. Det fins for eksempel terninger med 10 sider. Sånne terninger kan være svært så kule. De kan for eksempel være nummerert med sifrene 0 til 9 i stedet for 1 til 10. Hvorfor det er kult? Jo, for da har vi liksom hele ti-tallsystemet på terninger. Juhu! (NB: Ta dette som et tips til ting skolen din bør kjøpe av konkretiseringsmidler i matematikk).

La oss så si at vi kaster en sånn terning, og vil gjerne ha tallet 3. Hva er sannsynligheten for å få 3? Joda, nokså greit. Du vet det. det er 1/10. Men la oss bare liste opp universalregelen for all sannsynlighet med en eneste gang:

 

 

Hvor mange sider er det som har tallet 3 på seg på denne terningen? 1. Hvor mange mulige sider kan den lande på? 10.

 

 

Vi avanserer glatt til TO terninger. Og du skal få 3 på den første og 3 på den andre. Hvor mange gunstige har vi? Vi MÅ ha 3 på begge, og eneste gunstige er 33. Hvor mange mulige har vi? Den tungvinte måten er å telle. De to terningene kan bli 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, åkei nå gidder jeg ikke telle lengre, og helt opp til 99. Det blir til sammen 100 muligheter. Utregningen er 10*10 muligheter. Og sannsynligheten kan vi skrive som (1/10)*(1/10). Bedre skrevet som to brøker:

 

 

Sannsynligheten for å få 3 og 3 på to terninger med ti sider er 1/100. Og sannsynligheten for å få 3 på første kast og 3 på andre kast på en terning blir det samme.

Før vi går videre vil jeg vise frem et smart verktøy. Det kalles valgtre, eller sannsynlighetstre. Om det er bare to ting du skal huske om sannsynlighet, så er det gunstige/mulige og valgtre.

Her er et valgtre for å finne sannsynligheten for å få 3 på to kast på rad, med en terning med 10 sider:

 

 

 

Det er ikke alltid nødvendig å tegne hele valgtreet slik jeg har gjort her, men siden jeg først driver og forklarer, så gjorde jeg det. Legg merke til et par ting ved dette valgtreet. Se først på det første kastet. Sannsynligheten for å få en 3er er 1/10, og sannsynligheten for å ikke få en 3er er 9/10. Til sammen blir det 10/10, altså en hel.

Se videre at ut etter en forgreining, så står det et lite multiplikasjonstegn. Det betyr at du må gange sammen sannsynlighetene. Så sannsynligheten for å komme ut i greinen øverst til høyre er lik sannsynligheten for å få en 3er i første kast (1/10) ganger med sannsynligheten for å få en 3er i andre kast (1/10).

Sannsynligheten for å få en 3er i første kast og en 3er i andre kast blir derfor lik (1/10)*(1/10), som er 1/100 (første grein). Og sannsynligheten for å få en 3er i første kast og ikke en 3er i andre kast blir derfor lik (1/10)*(9/10), som er 9/100 (andre grein). Skjønner?

De plussene som står nedover der, de betyr at hvis du skal legge sammen flere greiner, så må du plusse dem sammen. For eksempel om du får oppgaven: Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig en 3er? Da plusser du sammen grein to og tre. 9/100+9/100=18/100.

 

 

Samme fremgangsmåte brukes hvis du før spørsmålet “Hva er sannsynligheten for å få minst en 3er?”. Da plusser du sammen de tre første greinene.

Legg til slutt merke til at summen av alle sannsynlighetene til slutt på de fire greinene blir en hel.

 

 

 

Men hvordan skiller dette seg fra et lotteri? Enkelt forklart, så er det jo sånn at etter at du har kjøpt et lodd, så er det færre lodd igjen i lotteriet. Det blir færre mulige for hvert lodd som er brukt opp. Og hvis loddet du kjøpte var et vinnerlodd, så blir det færre vinnerlodd igjen, altså færre gunstige. Det holder derfor ikke at vi vet hva som er sannsynligheten for å vinne på ett lodd, vi må også vite hvor mange lodd det er i lotteriet. Jeg gjetter på at det er 100 lodd, og at 10 av de er vinnerlodd. Merk at vi hadde fått helt andre tall om antall lodd i lotteriet hadde vært noe annet.

Vi har sannsynligheten 10/100 for å vinne på ett lodd, eller 1/10 om vi forkorter brøken. Jeg har latt være å forkorte noen brøker overhodet i tegningen, for å holde fokus på utregningen av sannsynlighet her. Forkorting av brøker kan du gjøre helt til sist når du har fått svaret. Tilbake til tegnebrettet:

 

Hvis vi da leser treet på samme måte som for terningen, så ser vi at sannsynligheten for å vinne på to lodd er:

 

 

Skal vi finne sannsynligheten for å vinne på nøyaktig ett lodd hvis man kjøper to, legger vi sammen de to greinene som har nøyaktig ett vinnerlodd i seg:

 

 

Spørsmål?

2 thoughts on “En usannsynlig oppgave”

  1. Oppgaven er helt grei den. Sannsynlighet for å vinne på et lodd er 0.1, gitt i oppgaven. Sannligheten for å ikke vinne på et lodd er dermed 1 – 0.1 = 0.9.

    Med to innkjøpte lodd A og B: sannsynligheten for å vinne på lodd A og ikke B er 0.1*0.9, og sannsynligheten for å ikke vinne på lodd A men å vinne på B er 0.9*0.1. Totalt, sannsynligheten for å finne på nøyaktig ett av de to innkjøpte loddene er dermed 2*0.1*0.9 = 0.18. Eller 18% om du vil.

    Men du hadde vel neppe skrevet en såpass lang utredning om du godtok dette sånn helt uten videre, så her er en tabell over mulige utfall for de to loddene A og B, og hvor sannsynlige disse utfallene er, alt i henhold til opplysningene i oppgaven:

    A_niks B_niks 0.9*0.9 = 0.81
    A_niks B_vinn 0.9*0.1 = 0.09
    A_vinn B_niks 0.1*0.9 = 0.09
    A_vinn B_vinn 0.1*0.1 = 0.01
    Total: 1.00

    Hva var det du gjorde feil?

    Vel, du ignorerte faktaopplysningen i oppgaven, at hvert lodd har nøyaktig 1/10 vinnersjanse, som ikke er vanskelig å få til i data-alderen. Antall mulige kan gjøres vilkårlig astronomisk høyt. Og da er forskjellen fra ekte eksakt sannsynlighet, neglisjerbar.

    I den andre retningen, hvis du ønsket å få belyst ditt poeng om situasjonen med et mindre antall papirlodd (en antagelse som ikke er forenlig med oppgaven), litt mer dramatisk og enkelt… Så ville jeg ha brukt som eksempel et lotteri med 50% vinnersjanse på hvert lodd. Den generelle sannsynlighetsberegningen gir da 50% sjanse for å vinne på nøyaktig ett av to innkjøpte lodd, mens hvis lotteriet har kun 2 lodd totalt, så er sjansen nødvendigvis (og dramatisk forskjellig) 100% for dette utfallet. 😉

  2. Takker for kommentar. Jeg mener fortsatt at oppgaven pedagogisk sett er dårlig. Og muligheten som du skisserer (at lodd utstedes fortløpende ved kjøp) har jeg tatt høyde for i innledningen. Sådetså. 😉

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *